№ 25 ЗПС = № 25 ЗПС
Дано трикутник $ABC$, $\overrightarrow{AB}(3;4)$, $\overrightarrow{BC}(-5;12)$, $BL$ — бісектриса трикутника. Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{BL}$.
Розв’язок:
$\overrightarrow{AB}=(3;4)$; $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$.
$\overrightarrow{BC}=(-5;12)$; $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-5)^{2}+12^{2}}=13$.
За властивістю бісектриси трикутника:
$AL\ :LC=AB\ :BC=5\ :13$.
Тоді $\overrightarrow{CL}=\frac{13}{5+13}\cdot\overrightarrow{CA}=\frac{13}{18}\cdot\overrightarrow{CA}$.
$\overrightarrow{BL}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CL}=\overrightarrow{BC}+\frac{13}{18}\cdot\overrightarrow{CA}=$
$=\overrightarrow{BC}+\frac{13}{18}\cdot(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC})=$
$=\overrightarrow{BC}+\frac{13}{18}\cdot(-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC})=$
$=(-5;12)+\frac{13}{18}\cdot((-3;-4)-(-5;12))=$
$=(-5;12)+\frac{13}{18}\cdot(2;-16)=$
$=(-5;12)+(\frac{13}{9};-\frac{104}{9})=$
$=(-\frac{45}{9}+\frac{13}{9};\frac{108}{9}-\frac{104}{9})=$
$=(-\frac{32}{9};\frac{4}{9})$.
Отже, $\overrightarrow{BL}=(-3\frac{5}{9};\frac{4}{9})$.
Відповідь:
$(-3\frac{5}{9};\frac{4}{9})$.