№ 26 ЗПС = № 26 ЗПС
Доведіть за допомогою векторів, що три висоти трикутника (або їхні продовження) перетинаються в одній точці.
Розв’язок:
Дві висоти $\bigtriangleup ABC$: $BK$ і $CM$ перетинаються в т. $O$. Доведемо, що висота, проведена з вершини $A$, проходить через т. $O$. Для цього знайдемо добуток $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=$
$=(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA})\cdot\overrightarrow{BA}+(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KA})\cdot\overrightarrow{AC}=$
$=\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{OK}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{KA}\cdot\overrightarrow{AC}=$
$=\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{KA}\cdot\overrightarrow{AC}=$
$=(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CM})\cdot\overrightarrow{BA}+(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BK})\cdot\overrightarrow{AC}=$
$=\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BK}\cdot\overrightarrow{AC}=$
$=\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}=$
$=\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CA}=0$.
Отже, $\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{BC}$. Тобто висота з вершини $A$ проходить через $O$.
Оскільки довільна третя висота проходить через точку перетину двох інших, то всі три висоти трикутника перетинаються в одній точці.
Що й треба було довести.