№ 27 ЗПС = № 27 ЗПС
Доведіть за допомогою векторів, що всі медіани трикутника перетинаються в одній точці й діляться цією точкою у відношенні $2\ :1$, починаючи від вершини.
Розв’язок:
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$.
$\overrightarrow{BA_{1}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{c}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$.
$\overrightarrow{AA_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA_{1}}=$
$=\overrightarrow{b}+\left( \frac{1}{2}\overrightarrow{c}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b} \right)=$
$=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$.
$\overrightarrow{AO}=n\cdot\overrightarrow{AA_{1}}=\frac{n}{2}\overrightarrow{b}+\frac{n}{2}\overrightarrow{c}$.
$\overrightarrow{BB_{1}}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB_{1}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$.
$\overrightarrow{BO}=m\cdot\overrightarrow{BB_{1}}=\frac{m}{2}\overrightarrow{c}-m\overrightarrow{b}$.
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}$.
Звідси:
$\overrightarrow{b}+\frac{m}{2}\overrightarrow{c}-m\overrightarrow{b}=\frac{n}{2}\overrightarrow{b}+\frac{n}{2}\overrightarrow{c}$.
$\left( \frac{n}{2}-\frac{m}{2} \right)\overrightarrow{c}=\left( 1-m-\frac{n}{2} \right)\overrightarrow{b}$ — можливо лише коли $\frac{n}{2}-\frac{m}{2}=0$, $n=m$ і $1-m-\frac{n}{2}=0$, тобто $\frac{n}{2}+m=1$; $m=\frac{2}{3}$.
Отже, $\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AA_{1}}$; $\overrightarrow{OA_{1}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AA_{1}}$.
$\overrightarrow{BO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BB_{1}}$; $\overrightarrow{OB_{1}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BB_{1}}$.
$\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AA_{1}}=$
$=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c})$.
$\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BO}=$
$=-\frac{1}{2}\overrightarrow{c}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}=\ldots=\frac{2}{3}\overrightarrow{CC_{1}}$.
Отже, $\overrightarrow{CC_{1}}$ проходить через $O$ і точкою $O$ ділиться у відношенні $2\ :1$, рахуючи від вершини.