№ 28 ЗПС = № 28 ЗПС
Доведіть за допомогою векторів, що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника.
Розв’язок:
1) У $\bigtriangleup CBD$:
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}$.
Нехай $k=\frac{BD}{BA}$, тоді $\overrightarrow{BD}=k\cdot\overrightarrow{BA}$. (1)
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+k\cdot\overrightarrow{BA}$
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+k\cdot\left( \overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB} \right)=$
$=\overrightarrow{CB}+k\cdot\overrightarrow{CA}-k\cdot\overrightarrow{CB}$
$\overrightarrow{CD}=(1-k)\cdot\overrightarrow{CB}+k\cdot\overrightarrow{CA}$
2) У $\bigtriangleup CAD$:
$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BD}=$
$=\overrightarrow{BA}-k\cdot\overrightarrow{BA}=(1-k)\cdot\overrightarrow{BA}$, тобто $AD=(1-k)\cdot BA$. (2)
Враховуючи (1) і (2), маємо:
$AD\ :BD=$
$=(1-k)\cdot BA:(k\cdot BA)=$
$=(1-k)\ :k$.
3) Нехай $\overrightarrow{CK}=\frac{1}{CA}\cdot\overrightarrow{CA}+\frac{1}{CB}\cdot\overrightarrow{CB}$. Доданки — одиничні вектори, напрямлені вздовж сторін $CA$ і $CB$, тому $\overrightarrow{CK}$ — діагональ ромба, побудованого на цих векторах. Діагональ ромба ділить його кут навпіл, отже, $\overrightarrow{CK}$ напрямлений по бісектрисі кута $C$, тобто $\overrightarrow{CD}=t\cdot\overrightarrow{CK}$, де $t>0$.
Тоді $(1-k)\cdot\overrightarrow{CB}+k\cdot\overrightarrow{CA}=\frac{t}{CB}\cdot\overrightarrow{CB}+\frac{t}{CA}\cdot\overrightarrow{CA}$. Оскільки вектори $\overrightarrow{CA}$ і $\overrightarrow{CB}$ неколінеарні, то $k=\frac{t}{CA}$, $1-k=\frac{t}{CB}$, тому
$\frac{1}{CA}:\frac{1}{CB}=k:(1-k)$.
Звідси $CA\ :CB=(1-k)\ :k$ або $CA\ :CB=AD\ :DB$.