№ 28 ЗПС = № 28 ЗПС
Доведіть за допомогою векторів, що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника.
Розв’язок:
1) У $\bigtriangleup CBD$:
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}$.
Нехай $k=\frac{BD}{BA}$, тоді $\overrightarrow{BD}=k\cdot\overrightarrow{BA}$. (1)
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+k\cdot\overrightarrow{BA}$
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+k\cdot\left( \overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB} \right)=$
$=\overrightarrow{CB}+k\cdot\overrightarrow{CA}-k\cdot\overrightarrow{CB}$
$\overrightarrow{CD}=(1-k)\cdot\overrightarrow{CB}+k\cdot\overrightarrow{CA}$
2) У $\bigtriangleup CAD$:
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BD}=$
$=\overrightarrow{BA}-k\cdot\overrightarrow{BA}=(1-k)\cdot\overrightarrow{BA}$. (2)
Враховуючи (1) і (2), маємо:
$AD\ :BD=$
$=(1-k)\cdot\overrightarrow{BA}\ :\left( k\cdot\overrightarrow{BA} \right)=$
$=(1-k)\ :k$.
3) $\overrightarrow{CK}=\frac{1}{CA}\cdot\overrightarrow{CA}+\frac{1}{CB}\cdot\overrightarrow{CB}$; $\overrightarrow{CD} \parallel \overrightarrow{CK}$, тому
$\frac{1}{CA}\ :\frac{1}{CB}=k\ :(1-k)$.
Звідси $CA\ :CB=(1-k)\ :k$ або $CA\ :CB=AD\ :DB$.