№ 29 ЗПС = № 29 ЗПС
Доведіть, що вектор $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})-\overrightarrow{c}(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})$ перпендикулярний до вектора $\overrightarrow{a}$.
Розв’язок:
$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})-\overrightarrow{c}(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})$
$\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{a}=(\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})-\overrightarrow{c}(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}))\cdot\overrightarrow{a}=$
$=(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a})-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})(\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a})=0$
Отже, $\overrightarrow{p} \perp \overrightarrow{a}$.