№ 30 ЗПС = № 30 ЗПС
Точки $M_{1}$ і $M_{2}$ лежать на прямій $ax+by+c=0$. Доведіть, що вектор $\overrightarrow{M_{1}M_{2}}$ перпендикулярний до вектора $\overrightarrow{p}(a;b)$.
Розв’язок:
Нехай $M_{1}(x_{1};y_{1})$, $M_{2}(x_{2};y_{2})$, тоді $\overrightarrow{M_{1}M_{2}}(x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1})$.
Оскільки точки лежать на прямій, маємо систему:
$\begin{cases} ax_{1}+by_{1}+c=0 \\ ax_{2}+by_{2}+c=0 \end{cases}$
Віднімемо від другого рівняння перше:
$a(x_{2}-x_{1})+b(y_{2}-y_{1})=0$
Знайдемо скалярний добуток векторів $\overrightarrow{p}(a;b)$ та $\overrightarrow{M_{1}M_{2}}(x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1})$:
$\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{M_{1}M_{2}}=$
$=a\cdot(x_{2}-x_{1})+b\cdot(y_{2}-y_{1})=0$
Оскільки скалярний добуток дорівнює нулю, то $\overrightarrow{p} \perp \overrightarrow{M_{1}M_{2}}$.
Що й треба було довести.