№ 32 ЗПС = № 32 ЗПС
Напишіть рівняння прямої, що є дотичною до кола $x^{2}-6x+y^{2}+8y=0$ у точці $A(-1;-1)$.
Розв’язок:
Виділимо повні квадрати у рівнянні кола:
$(x^{2}-6x+9)+(y^{2}+8y+16)=9+16$
$(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25$
Отже, центр кола $O$ має координати $(3;-4)$, а радіус $R=5$.
Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику. Знайдемо рівняння прямої $OA$, що проходить через центр $O(3;-4)$ та точку дотику $A(-1;-1)$:
$\frac{x-(-1)}{3-(-1)}=\frac{y-(-1)}{-4-(-1)}$
$\frac{x+1}{4}=\frac{y+1}{-3}$
$-3(x+1)=4(y+1)$
$-3x-3=4y+4$
$4y=-3x-7$
$y=-\frac{3}{4}x-\frac{7}{4}$
Кутовий коефіцієнт радіуса $k_{r}=-\frac{3}{4}$. Оскільки дотична перпендикулярна до радіуса, її кутовий коефіцієнт $k_{t}$ задовольняє умову $k_{t}\cdot k_{r}=-1$:
$k_{t}=-\frac{1}{k_{r}}=\frac{4}{3}$
Рівняння дотичної має вигляд $y=\frac{4}{3}x+b$. Оскільки вона проходить через точку $A(-1;-1)$, підставимо її координати:
$-1=\frac{4}{3}\cdot(-1)+b$
$-1=-\frac{4}{3}+b$
$b=-1+\frac{4}{3}=\frac{1}{3}$
Отже, рівняння дотичної:
$y=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$
Помножимо на $3$:
$3y=4x+1$
$4x-3y+1=0$
Відповідь:
$4x-3y+1=0$.