№ 33 ЗПС = № 33 ЗПС
Виведіть формулу для знаходження косинуса кута між прямими $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ і $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$.
Розв’язок:
Косинус кута $\alpha$ між прямими дорівнює косинусу кута між векторами $(a_{1};b_{1})$ і $(a_{2};b_{2})$.
$\left( a_{1};b_{1} \right)\cdot\left( a_{2};b_{2} \right)=$
$=|(a_{1};b_{1})|\cdot|(a_{2};b_{2})|\cdot cos\alpha$
$\cos\alpha=\frac{(a_{1};b_{1})\cdot(a_{2};b_{2})}{|(a_{1};b_{1})|\cdot|(a_{2};b_{2})|}=$
$=\frac{|a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\cdot\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$
Відповідь:
$\cos\alpha=\frac{|a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\cdot\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$.