№ 33 ЗПС = № 33 ЗПС
Виведіть формулу для знаходження косинуса кута між прямими $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ і $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$.
Розв’язок:
Вектори $\overrightarrow{n_{1}}(a_{1};b_{1})$ і $\overrightarrow{n_{2}}(a_{2};b_{2})$ перпендикулярні до даних прямих (задача 30). Нехай $\varphi$ — кут між векторами $\overrightarrow{n_{1}}$ і $\overrightarrow{n_{2}}$. Тоді кут $\alpha$ між прямими дорівнює $\varphi$ або $180^{\circ}-\varphi$. Оскільки $0^{\circ}\leq\alpha\leq90^{\circ}$, то $\cos\alpha\geq0$, отже, $\cos\alpha=|\cos\varphi|$.
$\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}}{|\overrightarrow{n_{1}}|\cdot|\overrightarrow{n_{2}}|}=\frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\cdot\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$
Тоді
$\cos\alpha=|\cos\varphi|=\frac{|a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\cdot\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$
Відповідь:
$\cos\alpha=\frac{|a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\cdot\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$.