№ 34 ЗПС = № 34 ЗПС
Для сторін трикутника $a,b,c$ виконується рівність $a^{2}=b^{2}+c^{2}+\sqrt{2}bc$. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника, якщо найбільша сторона трикутника дорівнює $6\sqrt{2}$ см.
Розв’язок:
За теоремою косинусів:
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\gamma$
За умовою задачі:
$a^{2}=b^{2}+c^{2}+\sqrt{2}bc$
Прирівняємо праві частини рівностей:
$-2bc\cos\gamma=\sqrt{2}bc$
$-2\cos\gamma=\sqrt{2}$
$\cos\gamma=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
Отже, $\gamma=135^{\circ}$. Оскільки кут $135^{\circ}$ є тупим, то сторона $a$, що лежить проти нього, є найбільшою стороною трикутника.
За теоремою синусів:
$R=\frac{a}{2\sin\gamma}$
Підставимо значення $a=6\sqrt{2}$ та $\gamma=135^{\circ}$:
$R=\frac{6\sqrt{2}}{2\sin 135^{\circ}}=\frac{6\sqrt{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=6\text{ (см)}$
Відповідь:
$6$ см.