№ 35 ЗПС = № 35 ЗПС
Медіани $AM_{1}$ і $BM_{2}$ трикутника $ABC$ дорівнюють $9$ см і $15$ см відповідно, $M$ — точка перетину медіан, $\angle AMB=120^{\circ}$. Знайдіть довжину третьої медіани.
Розв’язок:
$M$ — точка перетину медіан. За властивістю медіан, вони діляться точкою перетину у відношенні $2\ :1$, рахуючи від вершини:
$BM=\frac{2}{3}BM_{2}=\frac{2}{3}\cdot15=10$ (см)
$AM=\frac{2}{3}AM_{1}=\frac{2}{3}\cdot9=6$ (см)
Розглянемо $\bigtriangleup ABM$. За теоремою косинусів:
$AB^{2}=AM^{2}+BM^{2}-2\cdot AM\cdot BM\cdot cos120^{\circ}=$
$=6^{2}+10^{2}-2\cdot6\cdot10\cdot(-0{,}5)=$
$=36+100+60=196$
$AB=\sqrt{196}=14$ (см)
У $\bigtriangleup ABM$ відрізок $MM_{3}$ є медіаною до сторони $AB$. За формулою довжини медіани:
$(2MM_{3})^{2}+AB^{2}=(BM^{2}+AM^{2})\cdot2$
$4MM_{3}^{2}+14^{2}=(10^{2}+6^{2})\cdot2$
$4MM_{3}^{2}+196=(100+36)\cdot2$
$4MM_{3}^{2}+196=272$
$4MM_{3}^{2}=272-196=76$
$MM_{3}^{2}=\frac{76}{4}=19$
$MM_{3}=\sqrt{19}$ (см)
Оскільки $M$ — точка перетину медіан, то $CM_{3}=3MM_{3}$:
$CM_{3}=3\sqrt{19}$ (см)
Відповідь:
$3\sqrt{19}$ см.