№ 36 ЗПС = № 36 ЗПС
Площа трикутника дорівнює $S$, а довжини двох його сторін — $a$ і $b$. Знайдіть площі трикутників, на які він ділиться бісектрисою кута між даними сторонами.
Розв’язок:
Нехай $S_{\bigtriangleup ABC}=S$, $AB=a$, $AC=b$, $AK$ — бісектриса.
Площі трикутників $ABK$ та $ACK$ можна виразити через висоту $h$, проведену з вершини $A$ до сторони $BC$:
$S_{\bigtriangleup ABK}=\frac{1}{2}\cdot BK\cdot h$
$S_{\bigtriangleup ACK}=\frac{1}{2}\cdot KC\cdot h$
Оскільки висота $h$ спільна для обох трикутників, відношення їхніх площ дорівнює відношенню основ:
$\frac{S_{\bigtriangleup ABK}}{S_{\bigtriangleup ACK}}=\frac{BK}{KC}$
За властивістю бісектриси кута трикутника, відношення відрізків, на які вона ділить протилежну сторону, дорівнює відношенню прилеглих сторін:
$\frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC}=\frac{a}{b}$
Отже, $\frac{S_{\bigtriangleup ABK}}{S_{\bigtriangleup ACK}}=\frac{a}{b}$.
Також відомо, що сума площ частин дорівнює площі всього трикутника:
$S_{\bigtriangleup ABK}+S_{\bigtriangleup ACK}=S$
Виразимо площі через $S$, $a$ та $b$:
$S_{\bigtriangleup ABK}=\frac{S\cdot a}{a+b}$
$S_{\bigtriangleup ACK}=\frac{S\cdot b}{a+b}$
Відповідь:
$\frac{S\cdot a}{a+b}$, $\frac{S\cdot b}{a+b}$.