№ 37 ЗПС = № 37 ЗПС
Усередині рівностороннього трикутника $ABC$ дано точку $M$ так, що $AM=1$ см, $BM=2$ см, $\angle AMB=120^{\circ}$. Знайдіть $CM$.
Розв’язок:
$\bigtriangleup ABM$:
$AB=\sqrt{2^{2}+1^{2}-2\cdot2\cdot1\cdot\cos 120^{\circ}}=$
$=\sqrt{4+1-4\cdot(-0{,}5)}=$
$=\sqrt{5+2}=\sqrt{7}$ (см), тоді $BC=\sqrt{7}$ (см).
$\bigtriangleup ABM$:
$\cos\angle BAM=\frac{(\sqrt{7})^{2}+1^{2}-2^{2}}{2\cdot1\cdot\sqrt{7}}=$
$=\frac{7+1-4}{2\sqrt{7}}=\frac{4}{2\sqrt{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}$.
Якщо $\angle BAM=\alpha$, то $\angle ABM=180^{\circ}-120^{\circ}-\alpha=60^{\circ}-\alpha$, тоді $\angle MBC=\angle B-\angle ABM=$
$=60^{\circ}-(60^{\circ}-\alpha)=\alpha$.
Тобто $\angle MBC=\angle BAM=\alpha$, тоді:
$\cos\angle MBC=\cos\angle BAM=\frac{2}{\sqrt{7}}$.
$\bigtriangleup MBC$:
$MC=\sqrt{BM^{2}+BC^{2}-2BM\cdot BC\cdot cos\angle MBC}=$
$=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{7})^{2}-2\cdot2\cdot\sqrt{7}\cdot\frac{2}{\sqrt{7}}}=$
$=\sqrt{4+7-8}=\sqrt{3}$ (см).
Відповідь:
$\sqrt{3}$ см.