№ 38 ЗПС = № 38 ЗПС
Кут при вершині $C$ рівнобедреного трикутника $ABC$ у 4 рази більший за кут при основі. На стороні $AB$ взято точку $M$ таку, що $AM\ :MB=1\ :2$. Знайдіть $\angle ACM$.
Розв’язок:
Нехай кут при основі трикутника дорівнює $x$. Тоді кут при вершині $C$ дорівнює $4x$.
Сума кутів трикутника дорівнює $180^{\circ}$:
$x+x+4x=180^{\circ}$
$6x=180^{\circ}$
$x=30^{\circ}$
Отже, $\angle A=\angle B=30^{\circ}$, а $\angle C=120^{\circ}$.
Нехай довжина сторони $AC=a$, тоді $CB=a$.
За теоремою косинусів для $\bigtriangleup ABC$:
$AB^{2}=AC^{2}+CB^{2}-2\cdot AC\cdot CB\cdot cos120^{\circ}=$
$=a^{2}+a^{2}-2\cdot a\cdot a\cdot\left(-\frac{1}{2} \right)=$
$=2a^{2}+a^{2}=3a^{2}$
$AB=a\sqrt{3}$
Оскільки $AM\ :MB=1\ :2$, то $AM=\frac{1}{3}AB=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
За теоремою косинусів для $\bigtriangleup ACM$:
$CM^{2}=AC^{2}+AM^{2}-2\cdot AC\cdot AM\cdot cos30^{\circ}=$
$=a^{2}+\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)^{2}-2\cdot a\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=$
$=a^{2}+\frac{3a^{2}}{9}-a^{2}=\frac{a^{2}}{3}$
$CM=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Оскільки $AM=CM=\frac{a\sqrt{3}}{3}$, то $\bigtriangleup ACM$ — рівнобедрений з основою $AC$.
Кути при основі рівні, тому $\angle ACM=\angle CAM=30^{\circ}$.
Відповідь:
$30^{\circ}$.