№ 39 ЗПС = № 39 ЗПС
На сторонах $BC$ і $CD$ квадрата $ABCD$ взято відповідно точки $M$ і $N$ так, що $BM=\frac{1}{2}BC$ і $DN=\frac{1}{3}DC$. Доведіть, що $\angle MAN=45^{\circ}$.
Розв’язок:
Нехай $AB=x$, тоді $BC=CD=x$.
За умовою:
$BM=\frac{1}{2}x$, $MC=BC-BM=\frac{1}{2}x$.
$DN=\frac{1}{3}x$, $CN=CD-DN=\frac{2}{3}x$.
З $\bigtriangleup ABM$ ($\angle B=90^{\circ}$):
$AM^{2}=AB^{2}+BM^{2}=$
$=x^{2}+\left( \frac{1}{2}x \right)^{2}=x^{2}+\frac{1}{4}x^{2}=\frac{5}{4}x^{2}$.
З $\bigtriangleup ADN$ ($\angle D=90^{\circ}$):
$AN^{2}=AD^{2}+DN^{2}=$
$=x^{2}+\left( \frac{1}{3}x \right)^{2}=x^{2}+\frac{1}{9}x^{2}=\frac{10}{9}x^{2}$.
З $\bigtriangleup MCN$ ($\angle C=90^{\circ}$):
$MN^{2}=MC^{2}+CN^{2}=$
$=\left( \frac{1}{2}x \right)^{2}+\left( \frac{2}{3}x \right)^{2}=\frac{1}{4}x^{2}+\frac{4}{9}x^{2}=$
$=\frac{9+16}{36}x^{2}=\frac{25}{36}x^{2}$.
Отже, $MN=\frac{5}{6}x$.
З $\bigtriangleup AMN$ за теоремою косинусів:
$cos\angle MAN=\frac{AM^{2}+AN^{2}-MN^{2}}{2\cdot AM\cdot AN}$
Підставимо значення:
$\cos\angle MAN=\frac{\frac{5}{4}x^{2}+\frac{10}{9}x^{2}-\frac{25}{36}x^{2}}{2\cdot\sqrt{\frac{5}{4}}x\cdot\sqrt{\frac{10}{9}}x}=$
$=\frac{\frac{45+40-25}{36}x^{2}}{2x^{2}\cdot\sqrt{\frac{50}{36}}}=\frac{\frac{60}{36}x^{2}}{2x^{2}\cdot\frac{5\sqrt{2}}{6}}=$
$=\frac{\frac{5}{3}x^{2}}{\frac{5\sqrt{2}}{3}x^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Оскільки $\cos\angle MAN=\frac{1}{\sqrt{2}}$, то $\angle MAN=45^{\circ}$.
Що й треба було довести.