№ 40 ЗПС = № 40 ЗПС
Обчисліть площу трапеції, якщо її основи дорівнюють $a$ і $b$, а прилеглі до основи $a$ гострі кути дорівнюють $\alpha$ і $\beta$.
Розв’язок:
Проведемо $BK \perp AD$; $CM \perp AD$. $BCMK$ — прямокутник; $KM=BC=b$; $AK+MD=a-b$. $BK=CM=h$.
З $\bigtriangleup ABK$:
$AK=\frac{BK}{\tan\alpha}=\frac{h}{\tan\alpha}$
З $\bigtriangleup DCM$:
$MD=\frac{CM}{\tan\beta}=\frac{h}{\tan\beta}$
$AK+MD=\frac{h}{\tan\alpha}+\frac{h}{\tan\beta}=$
$=h\left( \frac{\tan\alpha+tan\beta}{\tan\alpha\tan\beta} \right)$
Так як $AK+MD=a-b$, то
$h\frac{\tan\alpha+tan\beta}{\tan\alpha\tan\beta}=a-b$
Звідси
$h=\frac{(a-b)tan\alpha\tan\beta}{\tan\alpha+tan\beta}$
$S=\frac{1}{2}(a+b)\cdot\frac{(a-b)\tan\alpha\tan\beta}{\tan\alpha+tan\beta}=$
$=\frac{(a^{2}-b^{2})tan\alpha\tan\beta}{2(tan\alpha+tan\beta)}$
$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$; $\tan\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$
Якщо замінити $\tan\alpha$ і $\tan\beta$, то після спрощення одержимо
$\frac{(a^{2}-b^{2})sin\alpha\sin\beta}{2sin(\alpha+\beta)}$
Відповідь:
$\frac{(a^{2}-b^{2})\sin\alpha\sin\beta}{2\sin(\alpha+\beta)}$.