№ 40 ЗПС = № 40 ЗПС
Обчисліть площу трапеції, якщо її основи дорівнюють $a$ і $b$, а прилеглі до основи $a$ гострі кути дорівнюють $\alpha$ і $\beta$.
Розв’язок:
Проведемо $CM \perp AD$; $CM=h$ — висота трапеції. Проведемо $CE \parallel AB$ ($E \in AD$). Тоді $ABCE$ — паралелограм, $AE=BC=b$, $ED=AD-AE=a-b$.
$\angle CED=\angle BAD=\alpha$ (відповідні кути при $CE \parallel AB$ і січній $AD$), $\angle CDE=\beta$, тому в $\bigtriangleup ECD$: $\angle ECD=180^{\circ}-(\alpha+\beta)$.
За теоремою синусів у $\bigtriangleup ECD$:
$\frac{CD}{\sin\alpha}=\frac{ED}{\sin(180^{\circ}-(\alpha+\beta))}=\frac{a-b}{\sin(\alpha+\beta)}$
Звідси
$CD=\frac{(a-b)\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}$
З $\bigtriangleup DCM$:
$h=CM=CD\sin\beta=\frac{(a-b)\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$
$S=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{(a+b)(a-b)\sin\alpha\sin\beta}{2\sin(\alpha+\beta)}=\frac{(a^{2}-b^{2})\sin\alpha\sin\beta}{2\sin(\alpha+\beta)}$
Відповідь:
$\frac{(a^{2}-b^{2})\sin\alpha\sin\beta}{2\sin(\alpha+\beta)}$.