№ 41 ЗПС = № 41 ЗПС
Доведіть, що площу чотирикутника, вписаного в коло, можна обчислити за формулою $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$, де $a,b,c,d$ — сторони чотирикутника, $p$ — його півпериметр.
Розв’язок:
Нехай $\angle D=\alpha$, тоді $\angle B=180^{\circ}-\alpha$. Тоді:
$S_{ABCD}=S_{\bigtriangleup ADC}+S_{\bigtriangleup ABC}=$
$=\frac{1}{2}ad\sin\alpha+\frac{1}{2}bcsin(180^{\circ}-\alpha)=$
$=\frac{1}{2}ad\sin\alpha+\frac{1}{2}bc\sin\alpha=$
$=\frac{1}{2}(ad+bc)sin\alpha$
Тоді $S^{2}=\frac{1}{4}(ad+bc)^{2}\sin^{2}\alpha=$
$=\frac{1}{4}(ad+bc)^{2}(1-\cos^{2}\alpha)$
З $\bigtriangleup ADC$ за теоремою косинусів:
$AC^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad\cos\alpha$
З $\bigtriangleup ABC$ за теоремою косинусів:
$AC^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\left( 180^{\circ}-\alpha \right)=$
$=b^{2}+c^{2}+2bc\cos\alpha$
Тоді $a^{2}+d^{2}-2ad\cos\alpha=b^{2}+c^{2}+2bc\cos\alpha$, звідки:
$\cos\alpha=\frac{a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}$
$S^{2}=\frac{1}{4}(ad+bc)^{2}\left( 1-\left( \frac{a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)} \right)^{2} \right)=$
$=\frac{1}{4}(ad+bc)^{2}-\frac{1}{4}(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}=$
$=\frac{1}{16}(2(ad+bc))^{2}-(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}=$
$=\frac{1}{16}(2ad+2bc-a^{2}-d^{2}+b^{2}+c^{2})(2ad+2bc+a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})=$
$=\frac{1}{16}((b+c)^{2}-(a-d)^{2})((a+d)^{2}-(b-c)^{2})=$
$=\frac{1}{16}(b+c-a+d)(b+c+a-d)(a+d-b+c)(a+d+b-c)$
Оскільки $2p=a+b+c+d$, то:
$b+c-a+d=2p-2a$
$b+c+a-d=2p-2d$
$a+d-b+c=2p-2b$
$a+d+b-c=2p-2c$
$S^{2}=\frac{1}{16}(2p-2a)(2p-2d)(2p-2b)(2p-2c)=$
$=(p-a)(p-d)(p-b)(p-c)$
Отже, $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$.
Що й треба було довести.