№ 42 ЗПС = № 42 ЗПС
У коло радіуса $R$ вписано трикутник, вершини якого ділять коло на частини у відношенні $2\ :5\ :17$. Знайдіть площу трикутника.
Розв’язок:
У коло радіуса $R$ вписано $\bigtriangleup ABC$. Відношення дуг: $◡AB\ :◡BC\ :◡CA=2\ :5\ :17$.
Сума частин: $2+5+17=24$.
$◡AB=\frac{360^{\circ}}{24}\cdot2=30^{\circ}$
$◡BC=\frac{360^{\circ}}{24}\cdot5=75^{\circ}$
$◡CA=\frac{360^{\circ}}{24}\cdot17=255^{\circ}$
Центральні кути: $\angle AOB=30^{\circ}$, $\angle BOC=75^{\circ}$, $\angle AOC=360^{\circ}-255^{\circ}=105^{\circ}$.
Площа трикутника $ABC$ дорівнює сумі площ трикутників $AOB$ та $BOC$ мінус площа трикутника $AOC$:
$S_{\bigtriangleup ABC}=S_{\bigtriangleup AOB}+S_{\bigtriangleup BOC}-S_{\bigtriangleup AOC}=$
$=\frac{1}{2}R^{2}\sin 30^{\circ}+\frac{1}{2}R^{2}\sin 75^{\circ}-\frac{1}{2}R^{2}\sin 105^{\circ}$
Оскільки $\sin 105^{\circ}=\sin(180^{\circ}-75^{\circ})=\sin 75^{\circ}$, то:
$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}R^{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}R^{2}\sin 75^{\circ}-\frac{1}{2}R^{2}\sin 75^{\circ}=$
$=\frac{1}{4}R^{2}$
Відповідь:
$\frac{1}{4}R^{2}$.