№ 43 ЗПС = № 43 ЗПС
(Теорема Птолемея.) Чотирикутник $ABCD$ є вписаним у коло. Доведіть, що $AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD$.
Розв’язок:
Нехай $ABCD$ — чотирикутник, вписаний в коло. Побудуємо $\angle CBE=\angle ABD$ ($E \in AC$).
$\bigtriangleup ABD \sim \bigtriangleup BCE$ ($\angle ABD=\angle CBE$ за побудовою, $\angle ADB=\angle ACB$ як вписані кути, що спираються на одну дугу).
З подібності трикутників:
$\frac{BC}{BD}=\frac{EC}{AD}$
звідси:
$BC\cdot AD=EC\cdot BD\quad(1)$
$\bigtriangleup ABE \sim \bigtriangleup BCD$ ($\angle ABE=\angle DBC$ за побудовою, $\angle BAC=\angle BDC$ як вписані кути, що спираються на одну дугу).
Тоді:
$\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}$
звідси:
$AB\cdot CD=AE\cdot BD\quad(2)$
Додамо почленно рівності (1) і (2):
$AB\cdot CD+BC\cdot AD=$
$=AE\cdot BD+EC\cdot BD=$
$=(AE+EC)\cdot BD=AC\cdot BD$
Отже, $AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD$.