№ 44 ЗПС = № 44 ЗПС
У трикутнику $ABC$ через вершину $A$ проведено пряму, що перетинає $BC$ у точці $D$, причому $\frac{BD}{BC}=\alpha$ ($\alpha<1$). Через точку $D$ проведено пряму, паралельну стороні $AB$, яка перетинає $AC$ у точці $E$. Обчисліть відношення площі трикутника $ABD$ до площі трикутника $ECD$.
Розв’язок:
$DE \parallel AB$ за умовою, тоді $\angle ABC=\angle EDC$ (відповідні при $DE \parallel AB$ і січній $BC$).
$\frac{S_{\bigtriangleup ABD}}{S_{\bigtriangleup ECD}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot BDsin\angle ABD}{\frac{1}{2}DE\cdot DCsin\angle EDC}=$
$=\frac{AB\cdot BD}{DE\cdot DC}$
$ED \parallel AB$, тому $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup EDC$.
$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{DC}$
Тоді:
$\frac{S_{\bigtriangleup ABD}}{S_{\bigtriangleup ECD}}=\frac{AB}{DE}\cdot\frac{BD}{DC}=\frac{BC}{DC}\cdot\frac{BD}{DC}$
Так як $\frac{BD}{BC}=\alpha$, то $BD=BC\cdot\alpha$;
$DC=BC-BD=$
$=BC-BC\cdot\alpha=BC(1-\alpha)$.
Тоді:
$\frac{S_{\bigtriangleup ABD}}{S_{\bigtriangleup ECD}}=\frac{BC\cdot BC\cdot\alpha}{BC^{2}(1-\alpha)^{2}}=$
$=\frac{\alpha}{(1-\alpha)^{2}}$
Відповідь:
$\frac{\alpha}{(1-\alpha)^{2}}$.