№ 45 ЗПС = № 45 ЗПС
Навколо круга описано рівнобічну трапецію з основами $a$ і $b$. Знайдіть площу круга.
Розв’язок:
Якщо в трапецію вписали коло, то:
$AB+CD=BC+AD=a+b$
Тоді $CD=\frac{a+b}{2}$ (оскільки $AB=CD$ за умовою).
$CK=h=d$ (діаметр кола).
$KD=\frac{b-a}{2}$.
З $\bigtriangleup CKD$ — прямокутного:
$CK^{2}=d^{2}=CD^{2}-KD^{2}=$
$=\left( \frac{a+b}{2} \right)^{2}-\left( \frac{b-a}{2} \right)^{2}=$
$=\frac{a^{2}+2ab+b^{2}-(b^{2}-2ab+a^{2})}{4}=$
$=\frac{4ab}{4}=ab$
$S_{\text{кр}}=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi ab}{4}$
Відповідь:
$\frac{\pi ab}{4}$