№ 46 ЗПС = № 46 ЗПС
У коло вписано правильний трикутник $ABK$ і квадрат $BCMN$. Знайдіть градусну міру кута $\angle ABC$.
Розв’язок:
$O$ — центр описаного кола.
$\angle BOA=120^{\circ}$ (центральний кут, що спирається на сторону правильного трикутника).
$\bigtriangleup BOA$ — рівнобедрений ($OB=OA=R$), тому:
$\angle OBA=\angle OAB=$
$=(180^{\circ}-120^{\circ})\ :2=30^{\circ}$
$\angle BOC=90^{\circ}$ (центральний кут, що спирається на сторону квадрата).
$\bigtriangleup BOC$ — рівнобедрений ($OB=OC=R$), тому:
$\angle OBC=\angle OCB=$
$=(180^{\circ}-90^{\circ})\ :2=45^{\circ}$
У першому випадку (якщо точки $A$ і $C$ лежать по один бік від радіуса $OB$):
$\angle ABC=\angle OBC-\angle OBA=$
$=45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}$
Якщо розмістити букви — вершини квадрата — по-іншому, то:
$\angle ABC=\angle ABK+\angle KBC=$
$=60^{\circ}+15^{\circ}=75^{\circ}$
Відповідь:
$15^{\circ}$ або $75^{\circ}$.