№ 47 ЗПС = № 47 ЗПС
На сторонах правильного шестикутника зовні нього побудовано квадрати. Вершини квадратів, які не є вершинами шестикутника, сполучено послідовно відрізками.
1) Доведіть, що дванадцятикутник, який при цьому утворився, є правильним.
2) Знайдіть площу дванадцятикутникa, якщо сторона початкового шестикутника дорівнює $a$.
Розв’язок:
$ABCDFK$ — правильний шестикутник. Всі його внутрішні кути по $120^{\circ}$.
$ABML$ — квадрат. $AB=LM=MB=a$.
Розглянемо кут навколо вершини $B$:
$\angle ABC+\angle ABM+\angle MBP+\angle PBC=360^{\circ}$
$120^{\circ}+90^{\circ}+\angle MBP+90^{\circ}=360^{\circ}$
$\angle MBP=60^{\circ}$.
$\bigtriangleup MBP$ — рівнобедрений, $MB=PB=a$ як сторони рівних квадратів. Оскільки $\angle MBP=60^{\circ}$, то $\bigtriangleup MBP$ — рівносторонній.
$MB=MP=a$, отже всі сторони цього дванадцятикутника рівні і дорівнюють $a$.
$\angle MPD=60^{\circ}+90^{\circ}=150^{\circ}$. Всі кути дванадцятикутника рівні, тоді цей дванадцятикутник — правильний.
Площа дванадцятикутника складається з площі шестикутника (шість рівних рівносторонніх трикутників), шести квадратів зі стороною $a$ та шести рівносторонніх трикутників, що утворилися між квадратами.
Отже, площа складається з $12$ рівносторонніх трикутників зі стороною $a$ та $6$ квадратів зі стороною $a$:
$S=12\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}+6\cdot a^{2}=$
$=3a^{2}\sqrt{3}+6a^{2}=$
$=3a^{2}(\sqrt{3}+2)$
Відповідь:
$3a^{2}(\sqrt{3}+2)$.