№ 48 ЗПС = № 48 ЗПС
Дано прямокутний трикутник з гіпотенузою $2$ і гострим кутом $60^{\circ}$. Знайдіть спільну частину двох кругів, що проходять через вершину прямого кута, із центрами у вершинах гострих кутів.
Розв’язок:
У $\bigtriangleup ABC$: $\angle C=90^{\circ}$; $AB=2$; $\angle B=60^{\circ}$, тоді $\angle A=30^{\circ}$.
Два кола з центрами у точках $A$ і $B$ мають спільну хорду $CK$ і спільну частину, яка складається з двох сегментів. Сегмент, який відрізає хорда $CK$ від кола з центром $A$ ($S_{1}$), і сегмент, який відрізає хорда $CK$ від кола з центром $B$ ($S_{2}$).
З $\bigtriangleup ABC$:
$CB=AB\cos 60^{\circ}=2\cdot\frac{1}{2}=1$
$AC=AB\sin 60^{\circ}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
Площа сегмента дорівнює різниці площі сектора та площі трикутника, утвореного радіусами та хордою.
$S_{1}=\frac{\pi\cdot AC^{2}}{360^{\circ}}\cdot(2\cdot30^{\circ})-S_{\bigtriangleup ACK}=$
$=\frac{\pi\cdot(\sqrt{3})^{2}}{6}-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot sin60^{\circ}=$
$=\frac{\pi}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{4}$
$S_{2}=\frac{\pi\cdot BC^{2}}{360^{\circ}}\cdot(2\cdot60^{\circ})-S_{\bigtriangleup CBK}=$
$=\frac{\pi\cdot1^{2}}{3}-\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot sin120^{\circ}=$
$=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}$
$S=S_{1}+S_{2}=$
$=\frac{\pi}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}=$
$=\frac{5\pi}{6}-\frac{4\sqrt{3}}{4}=$
$=\frac{5\pi}{6}-\sqrt{3}$
Відповідь:
$\frac{5\pi}{6}-\sqrt{3}$.