№ 5 ЗПС = № 5 ЗПС
Нехай точки $A(x_{1};y_{1})$, $B(x_{2};y_{2})$ і $C(x_{3};y_{3})$ лежать на одній прямій, причому $x_{2}\neq x_{3}$ і $y_{2}\neq y_{3}$. Доведіть, що
$\frac{x_{1}-x_{3}}{x_{2}-x_{3}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{y_{2}-y_{3}}$
Розв’язок:
Точки $A(x_{1};y_{1})$, $B(x_{2};y_{2})$, $C(x_{3};y_{3})$.
Якщо точки $A$, $B$, $C$ лежать на одній прямій, то вектори $\overrightarrow{CA}$ і $\overrightarrow{CB}$ колінеарні (паралельні).
Знайдемо координати векторів:
$\overrightarrow{CA}(x_{1}-x_{3};y_{1}-y_{3})$
$\overrightarrow{CB}(x_{2}-x_{3};y_{2}-y_{3})$
Оскільки вектори колінеарні, їхні відповідні координати пропорційні:
$\frac{x_{1}-x_{3}}{x_{2}-x_{3}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{y_{2}-y_{3}}$
Що й треба було довести.