№ 50 ЗПС = № 50 ЗПС
У круг радіуса $R$ вписано три круги однакового радіуса так, що кожен з них дотикається до двох інших (мал. 1). Обчисліть площу зафарбованої фігури.
Розв’язок:
$O$ — центр великого кола з радіусом $R$;
$O_{1},O_{2},O_{3}$ — центри малих кіл з радіусом $r$;
$O_{1},O_{2},O_{3}$ — вершини правильного трикутника зі стороною $2r$.
$O$ — центр великого кола з центром кола, описаного навколо $\bigtriangleup O_{1}O_{2}O_{3}$ зі стороною $2r$, тому $OO_{2}=\frac{2r}{\sqrt{3}}$, тоді
$R=ON=OO_{2}+O_{2}N=$
$=\frac{2r}{\sqrt{3}}+r=r\left( \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right)$, звідси
$r=\frac{R\cdot\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{R\sqrt{3}\cdot(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=$
$=R(2\sqrt{3}-3)$.
Щоб знайти площу зафарбованої частини, треба від площі $\bigtriangleup O_{1}O_{2}O_{3}$ відняти три площі сектора малого круга з центральним кутом $60^{\circ}$ ($\angle O_{2}O_{1}O_{3}$).
$S=\frac{(2r)^{2}\sqrt{3}}{4}-3\cdot\frac{\pi r^{2}\cdot60^{\circ}}{360^{\circ}}=$
$=\frac{4r^{2}\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi r^{2}}{2}=$
$=r^{2}\sqrt{3}-\frac{\pi r^{2}}{2}=$
$=r^{2}\left( \sqrt{3}-\frac{\pi}{2} \right)$.
Підставляючи замість $r$ його значення $R(2\sqrt{3}-3)$, маємо:
$S=R^{2}(2\sqrt{3}-3)^{2}\left( \sqrt{3}-\frac{\pi}{2} \right)=$
$=R^{2}(12-12\sqrt{3}+9)\left( \sqrt{3}-\frac{\pi}{2} \right)=$
$=R^{2}(21-12\sqrt{3})\left( \sqrt{3}-\frac{\pi}{2} \right)=$
$=3R^{2}(7-4\sqrt{3})\left( \sqrt{3}-\frac{\pi}{2} \right)$.
Відповідь:
$3R^{2}(7-4\sqrt{3})\left( \sqrt{3}-\frac{\pi}{2} \right)$.