№ 51 ЗПС = № 51 ЗПС
Центр кола, вписаного у прямокутний трикутник, лежить на відстанях $\sqrt{5}$ см і $\sqrt{10}$ см від кінців гіпотенузи. Знайдіть довжину кола.
Розв’язок:
$\bigtriangleup ACB$ — прямокутний, $O$ — центр вписаного кола. $OB=\sqrt{5}$, $OA=\sqrt{10}$.
$O$ — на перетині бісектрис, тому $\angle OAC=\angle OAK$ і $\angle OBC=\angle OBK$.
Так як $\angle A+\angle B=90^{\circ}$, то $\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B=45^{\circ}$.
Тобто $\angle OAB+\angle OBA=45^{\circ}$, тоді у $\bigtriangleup OAB$:
$\angle AOB=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$.
За теоремою косинусів для $\bigtriangleup OAB$:
$AB^{2}=OA^{2}+OB^{2}-2\cdot OA\cdot OB\cdot cos135^{\circ}=$
$=(\sqrt{10})^{2}+(\sqrt{5})^{2}-2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{5}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=$
$=10+5+2\cdot\sqrt{50}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=$
$=15+\sqrt{100}=15+10=25$
$AB=5$ (см).
$OK \perp AB$. Нехай $AK=x$, тоді $BK=5-x$.
Знайдемо $OK^{2}$ з двох трикутників:
$\bigtriangleup OAK$: $OK^{2}=OA^{2}-AK^{2}=10-x^{2}$
$\bigtriangleup OBK$: $OK^{2}=OB^{2}-BK^{2}=5-(5-x)^{2}$
Тоді:
$10-x^{2}=5-(25-10x+x^{2})$
$10-x^{2}=5-25+10x-x^{2}$
$10=-20+10x$
$10x=30$
$x=3$.
Тоді $OK=\sqrt{10-3^{2}}=\sqrt{1}=1$ (см), отже $r=1$.
Довжина кола $C=2\pi r=2\pi\cdot1=2\pi$ (см).
Відповідь:
$2\pi$ см.