№ 52 ЗПС = № 52 ЗПС
На катетах прямокутного трикутника, як на діаметрах, побудовано круги. Доведіть, що сума площ частин цих кругів, що лежать поза описаним навколо цього трикутника кругом, дорівнює площі трикутника.
Розв’язок:
$\bigtriangleup ABC$ — прямокутний. На катетах як на діаметрах побудовані кола. На гіпотенузі як на діаметрі також побудовано коло (описане коло навколо прямокутного трикутника має діаметром гіпотенузу). Необхідно знайти площу зафарбованої частини.
Щоб знайти цю площу, достатньо знайти суму площ півкругів, побудованих на катетах трикутника, і від цієї суми відняти суму площ сегментів, які від кола, побудованого на гіпотенузі, відтинають катети, як хорди. Для знаходження суми площ сегментів, достатньо від $S$ півкруга, побудованого на гіпотенузі, відняти площу трикутника. Нехай $a$ і $b$ — катети трикутника, тоді гіпотенуза дорівнює $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.
Площа півкруга, побудованого на катеті $a$, $S_{1}=\frac{\pi(\frac{a}{2})^{2}}{2}=\frac{\pi a^{2}}{8}$.
Площа півкруга, побудованого на катеті $b$, $S_{2}=\frac{\pi b^{2}}{8}$.
Сума площ сегментів:
$S_{3}=$
$=\frac{\pi(\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2})^{2}}{2}-\frac{1}{2}ab=$
$=\frac{\pi\left( a^{2}+b^{2} \right)}{8}-\frac{1}{2}ab=$
$=\frac{\pi a^{2}}{8}+\frac{\pi b^{2}}{8}-\frac{1}{2}ab$.
$S_{u}=S_{1}+S_{2}-S_{3}=$
$=\frac{\pi a^{2}}{8}+\frac{\pi b^{2}}{8}-\left( \frac{\pi a^{2}}{8}+\frac{\pi b^{2}}{8}-\frac{1}{2}ab \right)=$
$=\frac{1}{2}ab=S_{\bigtriangleup ABC}$.
Отже, $S_{\phi}=S_{\bigtriangleup ABC}$.