№ 53 ЗПС = № 53 ЗПС
Навколо рівнобедреного трикутника з основою $6$ см описано круг, довжина кола якого становить $10\pi$ см. Знайдіть відношення площі круга до площі трикутника.
Розв’язок:
1 випадок:
Даний трикутник — гострокутний.
$C=2\pi R=10\pi$, звідси $R=5$ (см).
$S_{\text{круга}}=25\pi$ см$^{2}$.
З $\bigtriangleup AOC$ знайдемо висоту $OK$:
$OK=\frac{2S_{\bigtriangleup}}{AC}=\frac{2\sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)}}{6}=$
$=\frac{2\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}}{6}=\frac{24}{6}=4\text{ (см)}$
Тоді $BK=5+4=9$ (см).
$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BK=\frac{1}{2}\cdot6\cdot9=27$ (см$^{2}$).
$\frac{S_{\text{круга}}}{S_{\bigtriangleup ABC}}=\frac{25\pi}{27}$
2 випадок:
$\bigtriangleup ABC$ — тупокутний. З $\bigtriangleup AOC$ знаходимо:
$OK=\frac{2S}{AC}=4$ (см) (аналогічно п. 1).
Тоді $BK=OB-OK=5-4=1$ (см).
$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BK=$
$=\frac{1}{2}\cdot6\cdot1=3$ (см$^{2}$).
$S_{\text{кр.}}=25\pi$ см$^{2}$.
$\frac{S_{\text{кр.}}}{S_{\bigtriangleup ABC}}=\frac{25\pi}{3}$
Відповідь:
$\frac{25\pi}{27}$ або $\frac{25\pi}{3}$.