№ 54 ЗПС = № 54 ЗПС
Сторона правильного трикутника дорівнює $a$. Із його центра описано коло, радіус якого дорівнює $\frac{a}{3}$. Знайдіть площу тієї частини трикутника, що лежить поза колом.
Розв’язок:
Щоб знайти площу зафарбованої частини трикутника (що лежить поза колом), знайдемо площу однієї з трьох рівних частин $S_{1}$.
Нехай $O$ — центр трикутника $ABC$, $D$ і $F$ — точки перетину кола зі сторонами $AB$ і $BC$, ближчі до вершини $B$; $OK \perp AB$, $K$ — середина $AB$.
Тоді $OK=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ (радіус вписаного кола), $OD=OF=r=\frac{a}{3}$. З прямокутного трикутника $ODK$: $DK=\sqrt{\frac{a^{2}}{9}-\frac{a^{2}}{12}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{36}}=\frac{a}{6}$, тому $BD=\frac{a}{2}-\frac{a}{6}=\frac{a}{3}$. Аналогічно $BF=\frac{a}{3}$.
Отже, $OD=DB=BF=FO=\frac{a}{3}$, тобто $ODBF$ — ромб, і $\angle DOF=\angle DBF=60^{\circ}$ (протилежні кути ромба).
Площу ромба $ODBF$ знайдемо за формулою:
$S_{\text{ромба}}=OD\cdot OF\cdot\sin\angle DOF=$
$=\frac{a}{3}\cdot\frac{a}{3}\cdot\sin 60^{\circ}=$
$=\frac{a^{2}}{9}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{18}$
Площа сектора $ODF$ з центральним кутом $60^{\circ}$:
$S_{\text{сект}}=\frac{\pi\cdot OD^{2}}{360^{\circ}}\cdot60^{\circ}=$
$=\frac{\pi\cdot(\frac{a}{3})^{2}}{6}=\frac{\pi a^{2}}{54}$
Площа однієї частини $S_{1}$ (різниця площі ромба та площі сектора):
$S_{1}=S_{\text{ромба}}-S_{\text{сект}}=$
$=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{18}-\frac{\pi a^{2}}{54}=$
$=\frac{3a^{2}\sqrt{3}-\pi a^{2}}{54}=$
$=\frac{a^{2}(3\sqrt{3}-\pi)}{54}$
Загальна площа фігури, що лежить поза колом, складається з трьох таких частин:
$S_{\text{фігури}}=3\cdot S_{1}=$
$=3\cdot\frac{a^{2}(3\sqrt{3}-\pi)}{54}=$
$=\frac{a^{2}(3\sqrt{3}-\pi)}{18}$
Відповідь:
$\frac{a^{2}(3\sqrt{3}-\pi)}{18}$.