№ 54 ЗПС = № 54 ЗПС
Сторона правильного трикутника дорівнює $a$. Із його центра описано коло, радіус якого дорівнює $\frac{a}{3}$. Знайдіть площу тієї частини трикутника, що лежить поза колом.
Розв’язок:
Щоб знайти площу зафарбованої частини трикутника (що лежить поза колом), знайдемо площу однієї з трьох рівних частин $S_{1}$.
Розглянемо ромб $ODBF$, де $O$ — центр трикутника, $D$ і $F$ — точки перетину кола зі сторонами трикутника.
$OD=OF=r=\frac{a}{3}$.
Кут $\angle DOF=60^{\circ}$ (оскільки центральний кут, що спирається на дугу, яка відповідає $1/6$ кола).
Площу ромба $ODBF$ знайдемо за формулою:
$S_{\text{ромба}}=OD\cdot OF\cdot\sin\angle DOF=$
$=\frac{a}{3}\cdot\frac{a}{3}\cdot\sin 60^{\circ}=$
$=\frac{a^{2}}{9}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{18}$
Площа сектора $ODF$ з центральним кутом $60^{\circ}$:
$S_{\text{сект}}=\frac{\pi\cdot OD^{2}}{360^{\circ}}\cdot60^{\circ}=$
$=\frac{\pi\cdot(\frac{a}{3})^{2}}{6}=\frac{\pi a^{2}}{54}$
Площа однієї частини $S_{1}$ (різниця площі ромба та площі сектора):
$S_{1}=S_{\text{ромба}}-S_{\text{сект}}=$
$=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{18}-\frac{\pi a^{2}}{54}=$
$=\frac{3a^{2}\sqrt{3}-\pi a^{2}}{54}=$
$=\frac{a^{2}(3\sqrt{3}-\pi)}{54}$
Загальна площа фігури, що лежить поза колом, складається з трьох таких частин:
$S_{\text{фігури}}=3\cdot S_{1}=$
$=3\cdot\frac{a^{2}(3\sqrt{3}-\pi)}{54}=$
$=\frac{a^{2}(3\sqrt{3}-\pi)}{18}$
Відповідь:
$\frac{a^{2}(3\sqrt{3}-\pi)}{18}$.