№ 55 ЗПС = № 55 ЗПС
Дано пряму, коло і точку $O$. Побудуйте точки, симетричні одна одній відносно центра $O$, одна з яких належить прямій, а інша — колу.
Розв’язок:
Нехай $a$ — дана пряма. Побудуємо пряму $a'$, симетричну прямій $a$ відносно точки $O$. Кожній точці прямої $a'$ відповідає симетрична їй відносно $O$ точка прямої $a$, тому шукана точка кола — це спільна точка кола і прямої $a'$. На малюнку пряма $a'$ перетинає коло в точках $K'$ і $P'$; симетричні їм відносно $O$ точки $K$ і $P$ лежать на прямій $a$. Пари $(K;K')$ і $(P;P')$ — шукані.
Якщо пряма $a'$ перетинає коло, задача має $2$ розв’язки; якщо дотикається до кола — $1$ розв’язок; якщо не має з колом спільних точок — розв’язків немає.
Відповідь:
Пари точок $(K;K')$ і $(P;P')$ — шукані.