№ 56 ЗПС = № 56 ЗПС
У прямокутному трикутнику $ABC$ ($\angle C=90^{\circ}$) проведено висоту $CD$. Радіуси кіл, вписаних у трикутники $ACD$ і $BCD$, дорівнюють $3$ см і $4$ см. Знайдіть радіус кола, вписаного у трикутник $ABC$.
Розв’язок:
У $\bigtriangleup ABC$: $\angle C=90^{\circ}$, $CD \perp AB$.
Нехай $r_{1}=3$ см — радіус кола, вписаного у $\bigtriangleup ACD$; $r_{2}=4$ см — радіус кола, вписаного у $\bigtriangleup BCD$; $r$ — радіус кола, вписаного у $\bigtriangleup ABC$.
Оскільки $\bigtriangleup ACD \sim \bigtriangleup ABC$ та $\bigtriangleup BCD \sim \bigtriangleup ABC$, то відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності, який у свою чергу дорівнює відношенню відповідних лінійних елементів (радіусів вписаних кіл):
$\frac{S_{\bigtriangleup ACD}}{S_{\bigtriangleup ABC}}=\frac{3^{2}}{r^{2}}=\frac{9}{r^{2}}\text{ (1)}$
$\frac{S_{\bigtriangleup BCD}}{S_{\bigtriangleup ABC}}=\frac{4^{2}}{r^{2}}=\frac{16}{r^{2}}\text{ (2)}$
Додамо рівності (1) та (2):
$\frac{S_{\bigtriangleup ACD}+S_{\bigtriangleup BCD}}{S_{\bigtriangleup ABC}}=\frac{9}{r^{2}}+\frac{16}{r^{2}}$
Оскільки $S_{\bigtriangleup ACD}+S_{\bigtriangleup BCD}=S_{\bigtriangleup ABC}$, то:
$1=\frac{25}{r^{2}}$
$r^{2}=25$
$r=5\text{ (см)}$
Відповідь:
$5$ см.