№ 57 ЗПС = № 57 ЗПС
У трикутнику $ABC$ на сторонах $AB$ і $BC$ позначено точки $D$ і $E$ так, що $DE \parallel AC$. Площа трикутника $ABC$ дорівнює $8\text{ см}^{2}$, а площа трикутника $DEC$ дорівнює $2\text{ см}^{2}$. Знайдіть відношення відрізка $DE$ до сторони $AC$.
Розв’язок:
$DE \parallel AC$, тому $\bigtriangleup BDE \sim \bigtriangleup BAC$. Тоді
$\frac{DE}{AC}=\frac{BK}{BM}=\frac{h_{1}}{H}$
$(BK=h_{1},BM=H)$
$BK \perp DE$, $BM \perp AC$. $CP \perp DE$;
$CP=H-h_{1}$. $S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot H=8$;
$S_{\bigtriangleup DEC}=\frac{1}{2}DE\cdot(H-h_{1})=2$.
Тоді
$\frac{S_{\bigtriangleup DEC}}{S_{\bigtriangleup ABC}}=\frac{\frac{1}{2}DE\cdot\left( H-h_{1} \right)}{\frac{1}{2}AC\cdot H}=$
$=\frac{DE(H-h_{1})}{AC\cdot H}=$
$=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
Враховуючи, що $\frac{DE}{AC}=\frac{h_{1}}{H}$, маємо
$\frac{h_{1}(H-h_{1})}{H\cdot H}=\frac{1}{4}$
$4h_{1}H-4h_{1}^{2}=H^{2}$;
$2h_{1}H+2h_{1}H-4h_{1}^{2}-H^{2}=0$;
$(2h_{1}H-H^{2})+(2h_{1}H-4h_{1}^{2})=0$;
$H(2h_{1}-H)-2h_{1}(2h_{1}-H)=0$;
$(2h_{1}-H)(H-2h_{1})=0$;
$-(H-2h_{1})^{2}=0$,
звідси $H=2h_{1}$, або $\frac{h_{1}}{H}=\frac{1}{2}$,
тобто $\frac{DE}{AC}=\frac{1}{2}$.
Відповідь:
$\frac{1}{2}$.