№ 58 ЗПС = № 58 ЗПС
Побудуйте трикутник за трьома його медіанами.
Розв’язок:
Нехай $AK$, $BD$, $CP$ — медіани шуканого трикутника $ABC$, $M$ — точка їх перетину. Якщо побудувати т. $M_{1}$, симетричну $M$ відносно точки $K$ — середини сторони $BC$, то $BMCM_{1}$ — паралелограм (його діагоналі $MM_{1}$ і $BC$ точкою $K$ діляться навпіл) і одержимо $\bigtriangleup MM_{1}C$, у якого сторони:
$CM=\frac{2}{3}CP$
$M_{1}C=BM=\frac{2}{3}BD$
$MM_{1}=\frac{2}{3}AK$
За трьома сторонами будуємо $\bigtriangleup MM_{1}C$, сторони якого дорівнюють $\frac{2}{3}$ кожної медіани. Ділимо сторону $MM_{1}$ навпіл і одержимо т. $K$. На промені $CK$ відкладаємо від т. $C$ відрізок $CB=2\cdot CK$.
Продовжимо відрізок $M_{1}M$ за т. $M$ і на продовженні від т. $M$ відкладемо $MA=MM_{1}$.
З’єднуємо вершини $A$ і $C$. $\bigtriangleup ABC$ — шуканий.
Відповідь:
$\bigtriangleup ABC$ — шуканий трикутник.