№ 59 ЗПС = № 59 ЗПС
Діагоналі прямокутника лежать на прямих $y=-3x+1$ і $y=3x-5$.
1) Складіть рівняння осей симетрії прямокутника.
2) Знайдіть координати вершин прямокутника, якщо одна з його сторін проходить через точку $(2;-1)$.
Розв’язок:
Знайдемо точку перетину діагоналей, розв’язавши систему рівнянь:
$-3x+1=3x-5$
$6x=6$
$x=1$
$y=3(1)-5=-2$
Точка перетину діагоналей — $(1;-2)$. Діагоналі прямокутника рівні й точкою перетину діляться навпіл, тому його осі симетрії проходять через цю точку і є бісектрисами кутів між діагоналями. Прямі $y=-3x+1$ і $y=3x-5$ мають протилежні кутові коефіцієнти, тому вони симетричні одна одній відносно прямих $x=1$ і $y=-2$, які проходять через точку $(1;-2)$. Отже, ці прямі — бісектриси кутів між діагоналями, і рівняння осей симетрії: $x=1$ та $y=-2$.
Сторони прямокутника паралельні осям симетрії, тобто осям координат. Якщо сторона лежить на прямій $y=-1$, то її кінці на діагоналях — точки $\left( \frac{2}{3};-1 \right)$ і $\left( \frac{4}{3};-1 \right)$, і точка $(2;-1)$ цій стороні не належить. Отже, сторона лежить на прямій, що проходить через точку $(2;-1)$ паралельно осі $y$. Її рівняння $x=2$. Ця пряма перетне діагоналі в точках:
$y=-3(2)+1=-5$ (точка $(2;-5)$)
$y=3(2)-5=1$ (точка $(2;1)$)
З точок $(2;1)$ і $(2;-5)$ проведемо прямі, паралельні осі $x$. Вони перетнуть діагоналі в точках:
Для $y=1$: $1=-3x+1 \Rightarrow x=0$ (точка $(0;1)$)
Для $y=-5$: $-5=3x-5 \Rightarrow x=0$ (точка $(0;-5)$)
Отже, координати вершин прямокутника: $(0;1)$, $(2;1)$, $(2;-5)$, $(0;-5)$.
Відповідь:
1) $x=1$, $y=-2$;
2) $(0;1)$, $(2;1)$, $(2;-5)$, $(0;-5)$.