№ 60 ЗПС = № 60 ЗПС
На кожній медіані трикутника позначено точку, що ділить медіану у відношенні $1\ :3$, починаючи від вершини трикутника. У скільки разів площа трикутника з вершинами в цих точках менша від площі початкового трикутника?
Розв’язок:
Нехай $O$ — точка перетину медіан трикутника $ABC$.
Оскільки трикутник $A_{1}B_{1}C_{1}$ утворений точками, що лежать на медіанах, то його сторони паралельні сторонам трикутника $ABC$ ($A_{1}B_{1} \parallel AB$, $B_{1}C_{1} \parallel BC$, $A_{1}C_{1} \parallel AC$). Отже, $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$.
Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності:
$\frac{S_{\bigtriangleup ABC}}{S_{\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}}}=\left( \frac{BC}{B_{1}C_{1}} \right)^{2}$
Точка $O$ ділить медіану у відношенні $2\ :1$, починаючи від вершини. Отже, $OB=\frac{2}{3}$ медіани.
Точка $B_{1}$ ділить медіану у відношенні $1\ :3$ від вершини, тому $BB_{1}=\frac{1}{4}$ медіани.
Знайдемо відстань від точки перетину медіан $O$ до точки $B_{1}$:
$OB_{1}=OB-BB_{1}=$
$=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{8-3}{12}=\frac{5}{12}$
З подібності трикутників $\bigtriangleup OB_{1}C_{1}$ та $\bigtriangleup OBC$ (оскільки $B_{1}C_{1} \parallel BC$):
$\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=\frac{OB}{OB_{1}}=$
$=\frac{2}{3}\ :\frac{5}{12}=\frac{2}{3}\cdot\frac{12}{5}=\frac{8}{5}=1{,}6$
Тоді відношення площ:
$\frac{S_{\bigtriangleup ABC}}{S_{\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}}}=(1{,}6)^{2}=2{,}56$
Тобто площа трикутника $A_{1}B_{1}C_{1}$ у $2{,}56$ раза менша за площу даного трикутника.
Відповідь:
У $2{,}56$ раза.