№ 60 ЗПС = № 60 ЗПС
На кожній медіані трикутника позначено точку, що ділить медіану у відношенні $1\ :3$, починаючи від вершини трикутника. У скільки разів площа трикутника з вершинами в цих точках менша від площі початкового трикутника?
Розв’язок:
Нехай $O$ — точка перетину медіан трикутника $ABC$.
Нехай $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ — позначені точки на медіанах, проведених з вершин $A$, $B$, $C$.
Точка $O$ ділить медіану у відношенні $2\ :1$, починаючи від вершини. Отже, $OB=\frac{2}{3}$ медіани.
Точка $B_{1}$ ділить медіану у відношенні $1\ :3$ від вершини, тому $BB_{1}=\frac{1}{4}$ медіани.
Знайдемо відстань від точки перетину медіан $O$ до точки $B_{1}$:
$OB_{1}=OB-BB_{1}=$
$=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{8-3}{12}=\frac{5}{12}$
Аналогічно $OA_{1}=\frac{5}{12}$ медіани, проведеної з вершини $A$, і $OC_{1}=\frac{5}{12}$ медіани, проведеної з вершини $C$. Отже,
$\frac{OB}{OB_{1}}=\frac{OC}{OC_{1}}=\frac{OA}{OA_{1}}=\frac{2}{3}:\frac{5}{12}=\frac{2}{3}\cdot\frac{12}{5}=\frac{8}{5}=1{,}6$
У трикутниках $OBC$ і $OB_{1}C_{1}$ кут $O$ спільний, а сторони, що його утворюють, пропорційні, тому $\bigtriangleup OBC \sim \bigtriangleup OB_{1}C_{1}$ і $\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=1{,}6$ (звідси й $B_{1}C_{1} \parallel BC$). Аналогічно $\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{AC}{A_{1}C_{1}}=1{,}6$. Отже, $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$ за трьома сторонами з коефіцієнтом подібності $1{,}6$.
Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності:
$\frac{S_{\bigtriangleup ABC}}{S_{\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}}}=(1{,}6)^{2}=2{,}56$
Тобто площа трикутника $A_{1}B_{1}C_{1}$ у $2{,}56$ раза менша за площу даного трикутника.
Відповідь:
У $2{,}56$ раза.