№ 61 ЗПС = № 61 ЗПС
Складіть рівняння образу кривої $x^{2}-4x+y^{2}=0$ при повороті навколо початку координат на кут $60^{\circ}$:
1) за годинниковою стрілкою;
2) проти годинникової стрілки.
Розв’язок:
$x^{2}-4x+y^{2}=0$
$(x-2)^{2}+y^{2}=4$ — коло з центром $Q(2;0)$, $R=2$; $OQ=2$, де $O$ — початок координат.
1) При повороті навколо точки $O$ на $60^{\circ}$ за годинниковою стрілкою точка $Q(2;0)$ перейде в точку $Q'$, для якої $OQ'=2$ і промінь $OQ'$ утворює з віссю $x$ кут $60^{\circ}$ нижче осі: $Q'(2\cos 60^{\circ};-2\sin 60^{\circ})$, тобто $Q'(1;-\sqrt{3})$. Радіус при повороті не змінюється, тому коло $(x-2)^{2}+y^{2}=4$ перейде в коло $(x-1)^{2}+(y+\sqrt{3})^{2}=4$.
2) При повороті на $60^{\circ}$ проти годинникової стрілки точка $Q(2;0)$ перейде в точку $Q''(2\cos 60^{\circ};2\sin 60^{\circ})$, тобто $Q''(1;\sqrt{3})$, і дане коло перейде в коло $(x-1)^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=4$.
Відповідь:
1) $(x-1)^{2}+(y+\sqrt{3})^{2}=4$;
2) $(x-1)^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=4$.