№ 63 ЗПС = № 63 ЗПС
Крива, рівняння якої $x^{2}+y^{2}=2(2+2y-x)$, при деякому паралельному перенесенні переходить у криву, рівняння якої $x^{2}+y^{2}=2(2x+y-m)$.
1) Знайдіть $m$.
2) Напишіть рівняння образу прямої $2x-3y+6=0$ при такому перенесенні.
Розв’язок:
Зведемо рівняння кривих до канонічного вигляду кола $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$.
Для першої кривої:
$x^{2}+y^{2}=4+4y-2x$
$x^{2}+2x+y^{2}-4y=4$
$(x+1)^{2}-1+(y-2)^{2}-4=4$
$(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=9$
Це коло з центром $(-1;2)$ та радіусом $R=3$.
Для другої кривої:
$x^{2}+y^{2}=4x+2y-2m$
$x^{2}-4x+y^{2}-2y=-2m$
$(x-2)^{2}-4+(y-1)^{2}-1=-2m$
$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=-2m+5$
Це коло з центром $(2;1)$ та радіусом $R^{2}=-2m+5$.
Оскільки при паралельному перенесенні радіус кола не змінюється, то $R^{2}=9$:
$-2m+5=9$
$-2m=4$
$m=-2$
Центр першого кола $(-1;2)$ переходить у центр другого кола $(2;1)$. Отже, паралельне перенесення задається формулами:
$x'=x+3$
$y'=y-1$
Пряма $2x-3y+6=0$ при паралельному перенесенні переходить у паралельну їй пряму, рівняння якої має вигляд $y=\frac{2}{3}x+b$.
Знайдемо точку перетину даної прямої з віссю ординат: якщо $x=0$, то $-3y+6=0$, звідки $y=2$. Точка $(0;2)$ належить прямій.
При заданому перенесенні точка $(0;2)$ переходить у точку $(0+3;2-1)=(3;1)$.
Підставимо координати цієї точки в рівняння образу прямої:
$1=\frac{2}{3}\cdot3+b$
$1=2+b$
$b=-1$
Отже, рівняння образу прямої:
$y=\frac{2}{3}x-1$
або
$2x-3y-3=0$
Відповідь:
1) $m=-2$;
2) $2x-3y-3=0$.