№ 64 ЗПС = № 64 ЗПС
Чи існує шестикутна піраміда, у якої всі ребра рівні?
Розв’язок:
Нехай сторона основи шестикутної піраміди дорівнює $a$. Тоді всі ребра основи дорівнюють $a$. За умовою, всі бічні ребра також дорівнюють $a$.
Припустимо, що така піраміда існує. Нехай $S$ — її вершина, $SO$ — висота, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ — вершини основи.
Прямокутні трикутники $SOA$, $SOB$, …, $SOF$ рівні за гіпотенузою ($SA=SB=\ldots=SF=a$) і спільним катетом $SO$, тому $OA=OB=\ldots=OF$. Отже, шестикутник основи вписаний у коло з центром $O$. Його рівні сторони — рівні хорди цього кола, вони стягують рівні дуги по $360^{\circ}:6=60^{\circ}$, тому шестикутник правильний. Радіус кола, описаного навколо правильного шестикутника, дорівнює його стороні, тобто $OA=a$.
Розглянемо прямокутний трикутник $SOA$:
$SO^{2}+OA^{2}=SA^{2}$
$SO^{2}+a^{2}=a^{2}$
$SO^{2}=0 \Longrightarrow SO=0$
Оскільки висота піраміди дорівнює $0$, вершина $S$ збігається з центром основи $O$. Отже, така фігура не є пірамідою.
Відповідь:
Ні, не існує.