№ 65 ЗПС = № 65 ЗПС
Бічні ребра трикутної піраміди попарно перпендикулярні й дорівнюють $a,b,c$. Знайдіть:
1) бічну поверхню піраміди;
2) об’єм піраміди;
3) площу основи;
4) висоту.
Розв’язок:
Нехай бічні ребра піраміди $SA=a$, $SB=b$, $SC=c$. Оскільки вони попарно перпендикулярні, то грані $SAB$, $SBC$ та $SAC$ є прямокутними трикутниками.
1) Бічна поверхня піраміди складається з площ трьох прямокутних трикутників:
$S_{\text{біч}}=S_{SAB}+S_{SBC}+S_{SAC}=$
$=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}bc+\frac{1}{2}ac=$
$=\frac{1}{2}(ab+bc+ac)$.
2) Оскільки $SC \perp SA$ і $SC \perp SB$, то пряма $SC$ перпендикулярна до площини $SAB$, тобто $SC$ — висота піраміди, якщо її основою вважати грань $SAB$. Тоді
$V=\frac{1}{3}S_{SAB}\cdot SC=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}ab\cdot c=\frac{1}{6}abc$.
3) Площа основи $S_{\text{осн}}$ — це площа трикутника $ABC$. Сторони цього трикутника за теоремою Піфагора дорівнюють:
$AB=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$, $BC=\sqrt{b^{2}+c^{2}}$, $AC=\sqrt{a^{2}+c^{2}}$.
Знайдемо кут $A$ трикутника $ABC$ за теоремою косинусів:
$\cos\angle A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\cdot AB\cdot AC}=$
$=\frac{(a^{2}+b^{2})+(a^{2}+c^{2})-(b^{2}+c^{2})}{2\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\sqrt{a^{2}+c^{2}}}=\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\sqrt{a^{2}+c^{2}}}$
Тоді
$\sin\angle A=\sqrt{1-\cos^{2}\angle A}=\sqrt{1-\frac{a^{4}}{(a^{2}+b^{2})(a^{2}+c^{2})}}=$
$=\frac{\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\sqrt{a^{2}+c^{2}}}$
$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin\angle A=$
$=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}$.
4) Висоту $H$ піраміди знайдемо з формули об’єму $V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}H$:
$H=\frac{3V}{S_{\text{осн}}}=\frac{3\cdot\frac{1}{6}abc}{\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}}=$
$=\frac{\frac{1}{2}abc}{\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}}=$
$=\frac{abc}{\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}}$.
Відповідь:
1) $\frac{1}{2}(ab+bc+ac)$;
2) $\frac{1}{6}abc$;
3) $\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}$;
4) $\frac{abc}{\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}}$.