№ 65 ЗПС = № 65 ЗПС
Бічні ребра трикутної піраміди попарно перпендикулярні й дорівнюють $a,b,c$. Знайдіть:
1) бічну поверхню піраміди;
2) об’єм піраміди;
3) площу основи;
4) висоту.
Розв’язок:
Нехай бічні ребра піраміди $SA=a$, $SB=b$, $SC=c$. Оскільки вони попарно перпендикулярні, то грані $SAB$, $SBC$ та $SAC$ є прямокутними трикутниками.
1) Бічна поверхня піраміди складається з площ трьох прямокутних трикутників:
$S_{\text{біч}}=S_{SAB}+S_{SBC}+S_{SAC}=$
$=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}bc+\frac{1}{2}ac=$
$=\frac{1}{2}(ab+bc+ac)$.
2) Об’єм піраміди з попарно перпендикулярними ребрами при вершині обчислюється за формулою:
$V=\frac{1}{6}abc$.
3) Площа основи $S_{\text{осн}}$ — це площа трикутника $ABC$. Сторони цього трикутника за теоремою Піфагора дорівнюють:
$AB=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$, $BC=\sqrt{b^{2}+c^{2}}$, $AC=\sqrt{a^{2}+c^{2}}$.
Площу трикутника $ABC$ можна знайти через векторний добуток або проекції площ граней (теорема про площу проекції):
$S_{\text{осн}}=\sqrt{S_{SAB}^{2}+S_{SBC}^{2}+S_{SAC}^{2}}=$
$=\sqrt{\left( \frac{ab}{2} \right)^{2}+\left( \frac{bc}{2} \right)^{2}+\left( \frac{ac}{2} \right)^{2}}=$
$=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}$.
4) Висоту $H$ піраміди знайдемо з формули об’єму $V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}H$:
$H=\frac{3V}{S_{\text{осн}}}=\frac{3\cdot\frac{1}{6}abc}{\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}}=$
$=\frac{\frac{1}{2}abc}{\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}}=$
$=\frac{abc}{\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}}$.
Відповідь:
1) $\frac{1}{2}(ab+bc+ac)$;
2) $\frac{1}{6}abc$;
3) $\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}$;
4) $\frac{abc}{\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}}$.