№ 66 ЗПС = № 66 ЗПС
Основою прямої призми є паралелограм, один із кутів якого дорівнює $30^{\circ}$. Площа основи дорівнює $4$ дм$^{2}$. Площі двох бічних граней призми дорівнюють $6$ дм$^{2}$ і $12$ дм$^{2}$. Знайдіть об’єм призми.
Розв’язок:
Нехай $a$ і $b$ — сторони паралелограма, що лежить в основі призми, а $H$ — висота прямої призми.
Площа основи паралелограма:
$S_{\text{осн}}=a\cdot b\cdot\sin 30^{\circ}=a\cdot b\cdot0{,}5=4\text{ (дм}^{2}\text{)}$
Звідси $a\cdot b=8$.
Бічні грані прямої призми є прямокутниками зі сторонами $(a,H)$ та $(b,H)$. Їхні площі:
$S_{1}=a\cdot H=6\text{ (дм}^{2}\text{)}$
$S_{2}=b\cdot H=12\text{ (дм}^{2}\text{)}$
Виразимо $a$ та $b$ через $H$:
$a=\frac{6}{H},\quad b=\frac{12}{H}$
Підставимо ці значення у вираз для площі основи:
$\frac{6}{H}\cdot\frac{12}{H}=8$
$\frac{72}{H^{2}}=8$
$H^{2}=9$
$H=3\text{ (дм)}$
Об’єм призми:
$V=S_{\text{осн}}\cdot H=4\cdot3=12\text{ (дм}^{3}\text{)}$
Відповідь:
$12$ дм$^{3}$.