№ 67 ЗПС = № 67 ЗПС
Об’єм правильної восьмикутної призми дорівнює $8$ м$^{3}$, а її висота дорівнює $2{,}2$ м. Знайдіть площу бічної поверхні призми.
Розв’язок:
Об’єм призми обчислюється за формулою:
$V=S_{\text{осн}}\cdot h$
де $S_{\text{осн}}$ — площа основи, $h$ — висота призми.
Знайдемо площу основи:
$S_{\text{осн}}=\frac{V}{h}=\frac{8}{2{,}2}=\frac{80}{22}=\frac{40}{11}\text{ (м}^{2}\text{)}$
Площа бічної поверхні правильної призми обчислюється за формулою:
$S_{\text{біч}}=P_{\text{осн}}\cdot h$
де $P_{\text{осн}}$ — периметр основи.
Знайдемо площу правильного восьмикутника зі стороною $a$. Добудуємо його до квадрата: у кутах квадрата утворюються 4 рівнобедрені прямокутні трикутники з гіпотенузою $a$ і катетами $\frac{a}{\sqrt{2}}$. Сторона квадрата дорівнює $a+2\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}=a+a\sqrt{2}=a(1+\sqrt{2})$. Тоді
$S_{\text{осн}}=a^{2}(1+\sqrt{2})^{2}-4\cdot\frac{1}{2}\cdot\left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)^{2}=$
$=a^{2}(3+2\sqrt{2})-a^{2}=2a^{2}(1+\sqrt{2})$
Звідси знайдемо сторону $a$:
$2a^{2}(1+\sqrt{2})=\frac{40}{11}$
$a^{2}=\frac{20}{11(1+\sqrt{2})}$
$a=\sqrt{\frac{20}{11(1+\sqrt{2})}}$
Периметр восьмикутника:
$P_{\text{осн}}=8a=8\sqrt{\frac{20}{11(1+\sqrt{2})}}$
Тоді площа бічної поверхні:
$S_{\text{біч}}=8\sqrt{\frac{20}{11\left( 1+\sqrt{2} \right)}}\cdot2{,}2=$
$=17{,}6\sqrt{\frac{20}{11(1+\sqrt{2})}}\text{ (м}^{2}\text{)}$
Спростимо вираз, домноживши підкореневий вираз на $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}$:
$\frac{20}{11\left( 1+\sqrt{2} \right)}=\frac{20\left( \sqrt{2}-1 \right)}{11};$
$17{,}6\sqrt{\frac{20(\sqrt{2}-1)}{11}}=16\sqrt{2{,}2(\sqrt{2}-1)}.$
Відповідь:
$16\sqrt{2{,}2(\sqrt{2}-1)}$ м$^{2}$.