№ 68 ЗПС = № 68 ЗПС
Знайдіть відстань між серединами двох мимобіжних ребер куба, площа повної поверхні якого дорівнює $36$ см$^{2}$.
Розв’язок:
Площа повної поверхні куба обчислюється за формулою $S=6a^{2}$, де $a$ — довжина ребра куба.
За умовою:
$6a^{2}=36$
$a^{2}=6$
$a=\sqrt{6}\text{ (см)}$
Нехай дано куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Ребра $AB$ і $DD_{1}$ мимобіжні; $M_{1}$ — середина $AB$, $M_{2}$ — середина $DD_{1}$, $d=M_{1}M_{2}$.
У грані $ABCD$ трикутник $M_{1}AD$ прямокутний ($\angle A=90^{\circ}$), $AM_{1}=\frac{a}{2}$, $AD=a$. За теоремою Піфагора:
$M_{1}D^{2}=AD^{2}+AM_{1}^{2}=a^{2}+\frac{a^{2}}{4}$
Ребро $DD_{1}$ перпендикулярне до площини $ABCD$, тому $DD_{1} \perp DM_{1}$ і трикутник $M_{1}DM_{2}$ прямокутний ($\angle D=90^{\circ}$), $DM_{2}=\frac{a}{2}$. За теоремою Піфагора:
$d=\sqrt{M_{1}D^{2}+DM_{2}^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}}=\sqrt{1{,}5a^{2}}$
Підставимо значення $a^{2}=6$:
$d=\sqrt{1{,}5\cdot6}=\sqrt{9}=3\text{ (см)}$
Відповідь:
$3$ см.