№ 68 ЗПС = № 68 ЗПС
Знайдіть відстань між серединами двох мимобіжних ребер куба, площа повної поверхні якого дорівнює $36$ см$^{2}$.
Розв’язок:
Площа повної поверхні куба обчислюється за формулою $S=6a^{2}$, де $a$ — довжина ребра куба.
За умовою:
$6a^{2}=36$
$a^{2}=6$
$a=\sqrt{6}\text{ (см)}$
Нехай дано куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Введемо систему координат з початком у вершині $A$, спрямувавши осі $Ox$, $Oy$, $Oz$ уздовж ребер $AB$, $AD$ та $AA_{1}$.
Розглянемо два мимобіжні ребра:
1) Ребро $AB$ лежить на осі $Ox$: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$. Його середина $M_{1}$ має координати $(\frac{a}{2};0;0)$.
2) Ребро $DD_{1}$ паралельне осі $Oz$: $D(0;a;0)$, $D_{1}(0;a;a)$. Його середина $M_{2}$ має координати $(0;a;\frac{a}{2})$.
Відстань $d$ між точками $M_{1}$ та $M_{2}$ обчислюється за формулою:
$d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}$
$d=\sqrt{(0-\frac{a}{2})^{2}+(a-0)^{2}+(\frac{a}{2}-0)^{2}}=$
$=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{6a^{2}}{4}}=\sqrt{1{,}5a^{2}}$
Підставимо значення $a^{2}=6$:
$d=\sqrt{1{,}5\cdot6}=\sqrt{9}=3\text{ (см)}$
Відповідь:
$3$ см.