№ 69 ЗПС = № 69 ЗПС
Куб, ребро якого дорівнює $a$, зрізаний по кутах так, що від кожної грані залишився правильний восьмикутник. Знайдіть об’єм утвореного многогранника.
Розв’язок:
Нехай $x$ — сторона правильного восьмикутника, що утворився на грані куба.
Оскільки кут зрізається так, що утворюється правильний восьмикутник, то від кожного кута квадратної грані відрізається рівнобедрений прямокутний трикутник з катетами $y$.
Гіпотенуза цього трикутника є стороною восьмикутника, тому $x=y\sqrt{2}$, звідки $y=\frac{x}{\sqrt{2}}$.
Сторона квадратної грані куба $a$ складається з двох катетів $y$ та сторони восьмикутника $x$:
$a=2y+x=2\cdot\frac{x}{\sqrt{2}}+x=$
$=x\sqrt{2}+x=x(\sqrt{2}+1)$.
Звідси сторона восьмикутника:
$x=\frac{a}{\sqrt{2}+1}=a(\sqrt{2}-1)$.
Об’єм утвореного многогранника дорівнює об’єму куба мінус об’єми восьми відрізаних пірамід. Кожна піраміда є прямокутною трикутною пірамідою з катетами основи $y$ та висотою $y$.
Об’єм однієї такої піраміди:
$V_{\text{пір}}=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h=$
$=\frac{1}{3}\cdot\left( \frac{1}{2}y^{2} \right)\cdot y=\frac{1}{6}y^{3}$.
Оскільки $y=\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{a\left( \sqrt{2}-1 \right)}{\sqrt{2}}=$
$=a\left( 1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=\frac{a(2-\sqrt{2})}{2}$, то:
$y^{3}=\frac{a^{3}(2-\sqrt{2})^{3}}{8}=$
$=\frac{a^{3}\left( 8-12\sqrt{2}+12-2\sqrt{2} \right)}{8}=$
$=\frac{a^{3}(20-14\sqrt{2})}{8}=\frac{a^{3}(10-7\sqrt{2})}{4}$.
Об’єм восьми пірамід:
$8\cdot V_{\text{пір}}=8\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{a^{3}\left( 10-7\sqrt{2} \right)}{4}=$
$=\frac{a^{3}(10-7\sqrt{2})}{3}$.
Об’єм многогранника:
$V=a^{3}-\frac{a^{3}\left( 10-7\sqrt{2} \right)}{3}=$
$=\frac{3a^{3}-10a^{3}+7\sqrt{2}a^{3}}{3}=$
$=\frac{7\sqrt{2}a^{3}-7a^{3}}{3}=\frac{7}{3}a^{3}(\sqrt{2}-1)$.
Відповідь:
$\frac{7}{3}a^{3}(\sqrt{2}-1)$.