№ 70 ЗПС = № 70 ЗПС
Кожне бічне ребро піраміди дорівнює $\frac{269}{32}$ см. Основа піраміди — трикутник зі сторонами $13$ см, $14$ см і $15$ см.
1) Доведіть, що основою висоти піраміди є центр кола, описаного навколо трикутника основи.
2) Знайдіть об’єм піраміди.
Розв’язок:
1) Нехай $S$ — вершина піраміди, $ABC$ — трикутник основи, $SH$ — висота піраміди ($H$ — основа висоти).
За умовою бічні ребра рівні: $SA=SB=SC=\frac{269}{32}$.
Розглянемо прямокутні трикутники $\bigtriangleup SHA$, $\bigtriangleup SHB$ та $\bigtriangleup SHC$:
— $SH$ — спільний катет;
— $SA=SB=SC$ (за умовою).
Отже, $\bigtriangleup SHA=\bigtriangleup SHB=\bigtriangleup SHC$ (за гіпотенузою та катетом).
З рівності трикутників випливає, що $HA=HB=HC$.
Оскільки точка $H$ рівновіддалена від усіх вершин трикутника $ABC$, вона є центром кола, описаного навколо цього трикутника.
Що й треба було довести.
2) Знайдемо площу основи $ABC$ за формулою Герона.
Півпериметр $p=\frac{13+14+15}{2}=21$ (см).
$S_{ABC}=\sqrt{p(p-13)(p-14)(p-15)}=$
$=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=\sqrt{7056}=84$ (см$^{2}$).
Радіус $R$ кола, описаного навколо трикутника $ABC$:
$R=\frac{abc}{4S_{ABC}}=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=$
$=\frac{2730}{336}=\frac{65}{8}$ (см).
Висота піраміди $H=SH$:
$SH=\sqrt{SA^{2}-R^{2}}=$
$=\sqrt{\left( \frac{269}{32} \right)^{2}-\left( \frac{65}{8} \right)^{2}}=$
$=\sqrt{\left( \frac{269}{32} \right)^{2}-\left( \frac{260}{32} \right)^{2}}=$
$=\sqrt{\frac{(269-260)(269+260)}{32^{2}}}=$
$=\sqrt{\frac{9\cdot529}{32^{2}}}=\frac{3\cdot23}{32}=\frac{69}{32}$ (см).
Об’єм піраміди $V$:
$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot H=$
$=\frac{1}{3}\cdot84\cdot\frac{69}{32}=28\cdot\frac{69}{32}=$
$=7\cdot\frac{69}{8}=\frac{483}{8}=60{,}375$ (см$^{3}$).
Відповідь:
$60{,}375$ см$^{3}$.