№ 7 ЗПС = № 7 ЗПС
Знайдіть координати третьої вершини рівностороннього трикутника $ABC$, якщо $A(-1;0)$, $B(1;0)$.
Розв’язок:
У рівносторонньому трикутнику $ABC$: $AB=BC=AC$.
Нехай $C(x;y)$. Тоді $AB=\sqrt{(1+1)^{2}+0^{2}}=2$.
$AC=\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}$; $BC=\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}$.
$AB^{2}=BC^{2}=AC^{2}$.
$\begin{cases} (x+1)^{2}+y^{2}=4 \\ (x-1)^{2}+y^{2}=4 \end{cases}$
$\begin{cases} (x+1)^{2}+y^{2}=4 \\ (x+1)^{2}-(x-1)^{2}=0 \end{cases}$
$\begin{cases} 1+y^{2}=4 \\ 2\cdot2x=0 \end{cases}$
$\begin{cases} y^{2}=3 \\ x=0 \end{cases}$
$\begin{cases} y=\sqrt{3} \\ x=0 \end{cases}$ або $\begin{cases} y=-\sqrt{3} \\ x=0 \end{cases}$
Отже, $C(0;\sqrt{3})$ або $C(0;-\sqrt{3})$.
II спосіб.
$\bigtriangleup ABC$ — рівносторонній. $A(-1;0)$, $B(1;0)$, т. $C$ рівновіддалена від $A$ і $B$, тому лежить на серединному перпендикулярі до $AB$, тобто на осі $y$ ($A$ і $B$ симетричні відносно осі $y$).
$C(0;y)$. $\bigtriangleup AC_{1}O$ — прямокутний, $AC_{1}=AB=2$. $\angle C_{1}AB=60^{\circ}$.
$C_{1}O=AB\cdot\sin 60^{\circ}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.
Отже, $C(0;\sqrt{3})$.
Якщо $C_{2}$ розміщена нижче нуля, то $C(0;-\sqrt{3})$.
Відповідь:
$C(0;\sqrt{3})$ або $C(0;-\sqrt{3})$.