№ 8 ЗПС = № 8 ЗПС
Знайдіть невідомі координати двох вершин ромба $ABCD$ з кутом $60^{\circ}$, якщо відомо координати двох його вершин $A(-1;0)$ і $B(1;0)$.
Розв’язок:
Випадок А. $AB$ — сторона ромба. Довжина сторони:
$AB=\sqrt{(1-(-1))^{2}+(0-0)^{2}}=\sqrt{2^{2}}=2$.
Розглянемо трикутник, утворений вершинами $A$, $B$ та вершиною ромба $D_{1}$ у верхній півплощині. Оскільки $\angle A=60^{\circ}$, то $\bigtriangleup AD_{1}B$ — рівносторонній (оскільки $AD_{1}=AB=2$ і кут між ними $60^{\circ}$).
Висота цього трикутника, опущена на вісь $x$, дорівнює:
$h=AB\cdot\sin 60^{\circ}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.
Отже, вершина $D_{1}$ має координати $(0;\sqrt{3})$.
Оскільки $D_{1}C_{1} \parallel AB$ і $D_{1}C_{1}=AB=2$, то $C_{1}(2;\sqrt{3})$ (ромб $ABC_{1}D_{1}$ з кутом $60^{\circ}$ при вершині $A$).
Якщо ж кут $60^{\circ}$ — при вершині $B$, то трикутник $ABD_{2}$ з $D_{2}(0;\sqrt{3})$ теж рівносторонній, а четверта вершина $C_{2}$ лежить на прямій $y=\sqrt{3}$ на відстані $2$ від $D_{2}$ ліворуч: $C_{2}(-2;\sqrt{3})$ (ромб $ABD_{2}C_{2}$).
1) $C_{1}(2;\sqrt{3})$, $D_{1}(0;\sqrt{3})$.
2) $D_{2}(0;\sqrt{3})$, $C_{2}(-2;\sqrt{3})$.
Якщо побудувати ромби в нижній півплощині відносно осі абсцис, то отримаємо ще два варіанти:
3) $C_{3}(2;-\sqrt{3})$, $D_{3}(0;-\sqrt{3})$.
4) $D_{4}(0;-\sqrt{3})$, $C_{4}(-2;-\sqrt{3})$.
Випадок Б. $AB$ — діагональ ромба. Тоді дві інші вершини лежать на серединному перпендикулярі до $AB$ — на осі $y$. Половина діагоналі $|AO|=1$.
5) Якщо кут $60^{\circ}$ — при вершинах на осі $y$, то $tg30^{\circ}=\frac{|AO|}{|CO|}$, звідки $|CO|=\sqrt{3}$. Ромб $AC_{5}BD_{5}$ з $C_{5}(0;\sqrt{3})$, $D_{5}(0;-\sqrt{3})$.
6) Якщо кут $60^{\circ}$ — при вершинах $A$ і $B$, то $tg30^{\circ}=\frac{|CO|}{|AO|}$, звідки $|CO|=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Ромб $AC_{6}BD_{6}$ з $C_{6}\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{3} \right)$, $D_{6}\left( 0;-\frac{\sqrt{3}}{3} \right)$.
Усього маємо $6$ ромбів.
Відповідь:
Шість ромбів: $ABC_{1}D_{1}$, де $D_{1}(0;\sqrt{3})$, $C_{1}(2;\sqrt{3})$; $ABD_{2}C_{2}$, де $D_{2}(0;\sqrt{3})$, $C_{2}(-2;\sqrt{3})$; $ABC_{3}D_{3}$, де $D_{3}(0;-\sqrt{3})$, $C_{3}(2;-\sqrt{3})$; $ABD_{4}C_{4}$, де $D_{4}(0;-\sqrt{3})$, $C_{4}(-2;-\sqrt{3})$; $AC_{5}BD_{5}$, де $C_{5}(0;\sqrt{3})$, $D_{5}(0;-\sqrt{3})$; $AC_{6}BD_{6}$, де $C_{6}\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{3} \right)$, $D_{6}\left( 0;-\frac{\sqrt{3}}{3} \right)$.