№ 71 ЗПС = № 71 ЗПС
Циліндр утворено обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін. Визначте об’єм $V$ циліндра через площу $S$ цього прямокутника і довжину $C$ кола, яке описує точка перетину його діагоналей.
Розв’язок:
Нехай сторони прямокутника дорівнюють $a$ та $b$. При обертанні навколо сторони $a$ утворюється циліндр з висотою $h=a$ та радіусом основи $r=b$.
Площа прямокутника:
$S=a\cdot b$
Точка перетину діагоналей прямокутника є його центром. Відстань від цієї точки до осі обертання (сторони $a$) дорівнює половині сторони $b$, тобто $R=\frac{b}{2}$.
Ця точка при обертанні описує коло довжиною $C$:
$C=2\pi R=2\pi\cdot\frac{b}{2}=\pi b$
Звідси виразимо $b$:
$b=\frac{C}{\pi}$
Підставимо значення $b$ у формулу площі $S=a\cdot b$, щоб знайти $a$:
$a=\frac{S}{b}=\frac{S}{\frac{C}{\pi}}=\frac{S\pi}{C}$
Об’єм циліндра $V=\pi r^{2}h=\pi b^{2}a$. Підставимо вирази для $a$ та $b$:
$V=\pi\cdot\left( \frac{C}{\pi} \right)^{2}\cdot\frac{S\pi}{C}=$
$=\pi\cdot\frac{C^{2}}{\pi^{2}}\cdot\frac{S\pi}{C}=$
$=\frac{\pi^{2}\cdot C^{2}\cdot S}{\pi^{2}\cdot C}=C\cdot S$
Відповідь:
$V=C\cdot S$.