№ 72 ЗПС = № 72 ЗПС
Висота конуса дорівнює діаметру його основи. Знайдіть відношення площі його основи до площі бічної поверхні.
Розв’язок:
Нехай $R$ — радіус основи конуса, $H$ — його висота, $L$ — твірна.
За умовою висота конуса дорівнює діаметру його основи:
$H=2R$.
Площа основи конуса:
$S_{\text{осн}}=\pi R^{2}$.
Твірна конуса $L$ утворює прямокутний трикутник з висотою $H$ та радіусом $R$:
$L=\sqrt{H^{2}+R^{2}}=\sqrt{(2R)^{2}+R^{2}}=$
$=\sqrt{4R^{2}+R^{2}}=\sqrt{5R^{2}}=R\sqrt{5}$.
Площа бічної поверхні конуса:
$S_{\text{біч}}=\pi RL=\pi R\cdot R\sqrt{5}=\pi R^{2}\sqrt{5}$.
Знайдемо відношення площі основи до площі бічної поверхні:
$\frac{S_{\text{осн}}}{S_{\text{біч}}}=\frac{\pi R^{2}}{\pi R^{2}\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.
Відповідь:
$\frac{\sqrt{5}}{5}$.