№ 73 ЗПС = № 73 ЗПС
Виразіть об’єм $V$ конуса через його бічну поверхню $S$ і відстань $r$ від центра основи до твірної.
Розв’язок:
Об’єм конуса обчислюється за формулою:
$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H$
Площа бічної поверхні конуса:
$S=\pi RL$
Розглянемо прямокутний трикутник, утворений висотою конуса $H$, радіусом основи $R$ та твірною $L$. Відстань $r$ від центра основи до твірної є висотою цього трикутника, проведеною до гіпотенузи $L$.
За властивістю площі прямокутного трикутника:
$R\cdot H=L\cdot r \Longrightarrow H=\frac{L\cdot r}{R}$
Підставимо вираз для $H$ у формулу об’єму:
$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}\cdot\frac{L\cdot r}{R}=\frac{1}{3}\pi RLr$
Оскільки $S=\pi RL$, маємо:
$V=\frac{1}{3}Sr$
Відповідь:
$V=\frac{1}{3}Sr$