№ 74 ЗПС = № 74 ЗПС
Із сектора з радіусом $6$ см і дугою $120^{\circ}$ виготовили конус. Знайдіть:
1) площу бічної поверхні конуса;
2) об’єм конуса.
Розв’язок:
При виготовленні конуса із сектора:
— радіус сектора $R=6$ см стає твірною конуса $l=6$ см;
— довжина дуги сектора дорівнює довжині кола основи конуса.
Довжина дуги сектора:
$L=\frac{\pi R\alpha}{180^{\circ}}=\frac{\pi\cdot6\cdot120^{\circ}}{180^{\circ}}=4\pi$ (см).
Довжина кола основи конуса $C=2\pi r$, де $r$ — радіус основи конуса:
$2\pi r=4\pi$
$r=2$ (см).
1) Площа бічної поверхні конуса:
$S_{\text{біч}}=\pi rl=\pi\cdot2\cdot6=12\pi$ (см$^{2}$).
2) Висота конуса $h$ за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника, утвореного висотою, радіусом основи та твірною:
$h^{2}=l^{2}-r^{2}=$
$=6^{2}-2^{2}=36-4=32$
$h=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ (см).
Об’єм конуса:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=$
$=\frac{1}{3}\pi\cdot2^{2}\cdot4\sqrt{2}=\frac{16\sqrt{2}}{3}\pi$ (см$^{3}$).
Відповідь:
1) $12\pi$ см$^{2}$;
2) $\frac{16\sqrt{2}}{3}\pi$ см$^{3}$.